Prova dos Nove - Alguém se lembra?

Para recordar...

Prova dos nove (ou noves fora) é um teste de validade para o cálculo manual de somas, subtrações, divisões e multiplicações de números inteiros. Utilizando-se apenas dos dígitos de entrada e saída do cálculo, a maioria dos erros acidentais serão notados. Devido à sua facilidade de uso, é passível de utilização por crianças na escola, mesmo que sem compreender suas bases matemáticas.

Se x e x' (respectivamente, y e y') têm o mesmo resto módulo 9, então x + y e x' + y', x - y e x' - y' e x × y e x' × y' também o têm.

O truque é que existe uma forma simples de calcular o resto de uma divisão de qualquer número por 9, baseado no seguinte teste: a soma dos dígitos de um número inteiro na base decimal tem o mesmo resto em sua divisão por 9 que o próprio número. Logo os dígitos do número original podem ser adicionados para se obter um outro número, e então repetidamente até que se chegue a um número com apenas 1 dígito, que é necessariamente o resto da divisão por 9 do número original.

Este método leva este nome pelo fato que os números 9 podem ser ignorados nas somas, já que eles são o mesmo que 0 quando do cálculo do resto da divisão por 9.

Consideremos 19786901 × 8098678443. O resultado é 160247748582475143, mas é muito provável que um erro seja cometido quando o cálculo é feito à mão, a menos que seja prestada muita atenção. Vamos então aplicar o processo da soma dos dígitos:
19786901 ⇒ 41 ⇒ 58098678443 ⇒ 57 ⇒ 12 ⇒ 3160247748582475143 ⇒ 78 ⇒ 15 ⇒ 65 × 3 = 15 ⇒ 6 CQD.
Utilizando-se a técnica dos noves fora:
19786901 ⇒ 23 ⇒ 58098678443 ⇒ 48 ⇒ 12 ⇒ 3160247748582475143 ⇒ 78 ⇒ 15 ⇒ 65 × 3 = 15 ⇒ 6 CQD.

Se o resultado fosse discrepante, concluiríamos que um erro fora cometido. Todavia, alguns erros, como por exemplo a falta de um ou mais dígitos cuja soma seja múltipla de 9, não alteram o resultado final do módulo. Isto faz com que um resultado correto da prova dos nove não garanta que o cálculo esteja correto. Esta técnica é útil para apontar a maioria dos erros aleatórios, mas não todos.